简介

最优化理论与方法是运筹学与计算数学的交叉学科.近20年来,信号处理,图像恢复,机器学习等信息技术领域以及统计学、数据科学中涌现了大量的优化问题.如何有效地求解这些问题,是近几年应用数学的一个新的研究热点, 一些当今世界一流应用数学家对这些问题也表现了浓厚的兴趣并给予了极大的关注.

数据科学中大规模计算问题的很大一部分可以归结为(或松弛成)一个可分离算子的凸优化问题. 这些科学计算中的问题往往与一个极大-极小问题等价，求解就类同于商业谈判中得到买卖双方都满意的双赢策略. 由于问题规模大,传统的优化求解方法往往难以凑效.根据问题的结构特点,设计简单易行的一阶分裂算法已渐成学界共识,一些简单的迭代求解方法又犹如一个逐步趋近双赢策略的商业谈判过程.本课程从日常生活的常识、商业谈判的视角出发，介绍设计最优化方法的一些基本原理，求解一些管理科学与技术科学中的问题. 

变分不等式是运筹学中许多问题的一种统一表述模式.经济活动中的最优平衡问题、政策性调控问题,都可以用变分不等式来描述. 我们会用最直观的例子让学生理解这个貌似深奥的概念.最优化和变分不等式有着紧密的联系.凸优化的一阶最优性条件就是一个单调变分不等式.在变分不等式的框架下考虑凸优化的求解方法,就像学了微积分的大学生不再用配方法，而是通过求导得到一元二次函数的极值点,这常常会带来很大的方便.

长期以来,针对管理科学的特点,我们致力于单调变分不等式的一阶方法的研究,提出了以投影收缩算法为代表的一系列预测-校正方法.得益于求解变分不等式收缩算法的研究基础,在应对大规模优化问题一阶求解方法的时候,我们根据“分解降低难度,整合把握方向”的原理提出的一系列求解凸优化的分裂收缩算法.这些方法被多所美国名校的研究工作者用来求解实际问题,赢得了国际学术界的好评.

为满足高年级本科生的知识需求,我们分三个专题开设《凸优化的分裂收缩算法》.结合我们课题组的学术成果,以数据科学中凸优化的一些典型问题为例,向学生介绍如何以变分不等式为基本框架,设计大型凸优化问题的求解算法.利用我们的优势,争取收到事半而功倍的效果.

著名数学家冯康先生说过,一个科学家最大的本领就在于化复杂为简单,用简单的方法去解决复杂的问题.本课程中介绍凸规划的分裂收缩算法,始终追求简单统一的原则.简单,方法才有可能被相关学科和工程师们采用.因为简单,课程中介绍的一些最新方法已经被机器学习和图像处理等领域的专家学者采用.课程中介绍的方法,都有统一的框架.这些统一框架揭示已有方法之间的内在联系,简化算法的收敛性证明,又能对设计新的算法,提高算法效率提供指导性帮助.

教材选取何炳生主页上《凸优化和单调变分不等式的收缩算法-统一框架与应用》的部分内容,结合本科生的需求,做适当调整.力求做到普及与提高相结合,学习和创新相结合,对学生从学习走向研究有所帮助.

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授课对象

数学系、管理学院、计算机科学、电子工程本科生。要求学生具有大学一、二年级微积分和线性代数的一般基础.

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课程内容

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授课方式

三个单元. 每个单元两周, 讲课 6 小时,上机实习 4 小时。学生可先选择第一单元。以后根据个人兴趣再选择后面的第二、第三单元。

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上课地点

仙林校区综合实验楼丙区－504

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上课时间

本次暂停，请勿选！

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参考资料

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