课程简介：

钟摆是一种由理想化的摆球和摆线组成的物理模型。本课程以计算钟摆的运动过程为例介绍数学模型、微分方程和数值计算方法这三个过程。这些是解答许多数学、物理和工程问题必须经历的重要步骤。

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如何快速实现上百位数以上规模的整数的乘法和除法?通常小学所学的多位数的长乘法和试商的除法在进行大整数乘除法时速度不够快。本课程介绍基于快速傅里叶变换和牛顿迭代法的大整数快速乘除算法。最后给出了大整数算术运算在信息加密和解密中的应用。

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有限元方法是工程计算中近似求解偏微分方程的常用数值解法。內罚有限元方法是标准有限元方法的一种变形。高波数波散射问题的高效数值模拟是一个著名的难题。本课程以声波散射问题为例介绍三角网上有限元方法的MATLAB实现；及如何选取內罚有限元方法的加罚参数以有效求解高波数问题。

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想象一个含有250亿份文件，却没有集中管理机构和馆员的图书馆，而且任何人都可以在任何时间添加新的文件而不需要通知其他人。一方面你可以确定，这庞大的文件堆中有一份文件含有对你至关重要的信息，而另一方面，你又像我们中的大多数人那样没有耐心，想要在几秒钟之内就找到这条信息。你有什么办法呢？
摆在你面前的这个难题看起来似乎无法解决。而这个文件堆跟万维网（World Wide Web）其实相差无几，后者就是一个超大的、高度混乱的以各种形式存放的文件堆。当然，从万维网中找信息我们有办法解决，因为我们对搜索引擎非常熟悉。
本文将介绍谷歌的网页排序算法（PageRank Algorithm），以及它如何从250亿份网页中捞到与你的搜索条件匹配的结果。

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按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究、 找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势，并且通过干预来控制将来事件就是时间序列分析。本课程将采用时间序列分析预测法解决上面的问题。
通过上面案例的教学，本课程将讨论如何应用时间序列数据进行建模的方法、建模的步骤以及不同模型的比较和优化问题。本课程着重介绍整合自回归移动平均模型（ARIMA模型），介绍该模型的具体形式、估计、识别和预测方法。
本课程处理问题的软件是R语言，R是一个自由、免费、源代码开放的软件，是一个被广泛应用于统计计算和统计制图的优秀工具。本课程将简单介绍该软件在时间序列分析中的应用。

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大量的实际应用中需要计算数学模型（问题）的数值解，而误差信息对于数值解非常重要，不了解误差信息，仅通过一个数值解我们甚至不知道这个问题是否有解。配合了可靠的误差信息的数值解为“可靠解”。这个课程即是着眼于可靠解的计算，其核心是：介绍区间数学的知识，以图在算法层面上控制逼近、离散等误差；介绍基于区间计算的软件IntLab，以图在实际计算的层面上控制舍入、数据等误差。通过二者的配合，我们可以计算出可靠地误差信息，从而得到问题的可靠解。

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n次多项式方程已被证明在复数域一定有n个根(包括重根)，但是只有四次以下的方程有求根公式，对于五次以上的多项式方程我们如何来算出它的所有的根？当然必须要使用计算机计算。本课程从如何计算只有单根的多项式方程的实根，计算有重根的方程的实根，最后计算方程的复根的次序依次给大家一个详细的介绍。同时给出相关计算的代码，在介绍完相关的内容后使用相应的计算代码进行实际的计算。

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随机模拟方法又称为蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。本课程主要分为两个部分：第一部分介绍随机数的生成，这是随机模拟方法的基础。该部分包含以下三个方面：1.[0,1]上均匀分布随机数的产生方法；2.常见分布随机数的产生方法；3.复杂分布随机数的产生方法，主要介绍用取舍法生成随机数。这是第一部分的主要内容。在实际中，尽管可以将一些复杂的概率（或期望，分位数等等）用数学表达式写出，但往往难于计算。这给实际应用带来了很大的麻烦。用随机模拟方法进行近似计算是一个很好的解决方法，它的特点是简单易行，避免了复杂的数学理论。我们在第二部分将通过实例加以说明。

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R软件是一款自由下载安装的无版权统计软件。随着统计在各行各业的广泛应用，科研人员们开发了大量的软件包，可供大家免费下载安装使用。目前在统计，金融，计量经济学等领域都得到广泛应用。相较其它软件如sas，matlab，它体积小，随时随地可以免费下载安装，特别是很多大牛把最新的研究成果做成package放到网上可以直接下载应用。

课程内容

R软件基本操作；R语言编程基本语法；基本统计模型的分析。

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在很多应用问题中，涉及到多个决策主体（angent，可以是人、团体甚至是抽象的机制），他们的效用（interest或者objective）是不一致的甚至对抗的，那么最终所有的决策主体能达到某种决策上的均衡吗？这是个非常有趣的问题，而且有着广泛的实际背景，例如国家之间的碳排放协议、交通规划、乃至飞行器的设计。这些看上去不相干的实际问题，其中都有竞争机制下的多目标决策问题，这正是博弈论（Game Theory）所要研究的。本课程介绍博弈论的产生、基本概念、一些常见的博弈问题以及相关的处理手法。

课程内容

主要内容：博弈论的产生、基本概念（局中人、行动、信息、均衡和结果等）、一些常见的博弈问题（如囚徒困境、石头剪刀布，多目标最优控制等）、博弈论的一些数学模型（变分不等式）、博弈论的应用（碳排放控制、道路规划、机翼设计）。

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随机过程是现代概率论的一个重要分支，其在物理、化学、生物、经济、金融等学科中有着广泛的应用。

布朗运动作为一类重要的随机过程，具有明确的物理背景和严格的数学定义。本课程将介绍布朗运动、股票价格过程

及金融衍生产品定价相关内容。

课程内容：

1、布朗运动；

2、股票价格模型；

3、期权及其定价公式（Black-Scholes-Merton公式）

参考资料

1.严加安 《金融数学引论》 科学出版社

2.Steven E.Shreve 《Stochastic Calculus for Finance II Continuous-Time Models》 Springer

3.John C. Hull《Options, Futures and Other Derivatives (7th Edition)》

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EM算法是Dempste,rLaird,Rubin于1977年提出的，这篇文章是统计学中引用率最高的文章之一。在机器学习与数据挖掘中有着广泛的应用。我们将详细讲解EM算法的原理，算法收敛性及其应用实例。

课程内容

本课程分为两个部分。一，通过Dempster等人的文章中德例子讲解EM算法的原理，并举实例作为应用；二，介绍EM算法的收敛性。

参考资料

 “计算统计”，Givens等著，人民邮电出版社。

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Matlab软件是美国MathWorks公司开发的一个数值计算软件，提供丰富的矩阵计算功能，还可进行符号运算和计算可视化等。用于矩阵方面的计算特别方便。

课程内容

Matlab的基本操作；数值计算；符号计算；图形显示；程序设计及M文件